集合時間過去問集
-
問題１ 〜2002.10.27
数列 an=an+1an-1, a1=3, a2=2 を考える。 mを奇数として、 円 (x-am-1)2+(y-am)2=am+12 が x軸、y軸と計２つの交点をもつような am-1〜am+1 の組について 2am+1x+2am+6am-1/x (但しx>0) の取りうる最小値をTとすると、 9時T分を集合時間とする。
-
問題２ 〜2003.1.4
m,nは-5以上5以下の整数である。 x3+mx2+nx+2=0 が整数解xを持つようなm,nの組をＳ通りとして、９時Ｓ分に襲撃しる！
-
問題３ 〜2003.3.9
１辺8√3の正八角形ABCDEFGHを考える。直線DGと直線EHの交点をPとして線分APの長さをSとすると、 9時S分を集まる時間とする。
-
問題４ 〜2003.9.21
以下の数列において、ちょっと早いけど８時Ｓ分にNi家に集合汁。 36, 65, 94, 24, Ｓ, 82, 12, 41, 7, 0
-
問題５ 〜2004.4.1
自然数A,Bがあって、A:B=a:b, (A+B):(a+b)=(a+b):8の関係を満たす正の実数a,bがある。 a,bを四捨五入し整数にした数をそれぞれa',b'とする。このとき、 a'+b'が奇数で、a-a'=b-b'になることがある。この条件を満たすA+Bの最小値をMとすると、9時M分を集合時間とする。
-
解答１
a6p-5=3, a6p-4=2, a6p-3=2/3, a6p-2=1/3, a6p-1=1/2, a6p=3/2
と推測され、p=1の時は明らかで、p>1について
an=an+1an-1 を変形してan+1=an/an-1
an+3=an+2/an+1=an+1/an/an+1=1/an
an+6=1/an+3=an
よって推測が正しいと証明された。
m奇数より円の式は３つ
(x-3/2)2+(y-3)2=22
(x-2)2+(y-2/3)2=(1/3)2
(x-1/3)2+(y-1/2)2=(3/2)2
ｘ軸、ｙ軸と計２つの交点をもつ円の式は１番目のみ。よって
am-1=3/2, am=3, am+1=2
つまり
2*2x+2*3+6*(3/2)/x=4x+6+9/x の取りうる最小値は、x>0なので
4x+6+9/x≧6+2√(4x*9/x)=6+2*6=18
等号成立は4x=9/x x=3/2のとき。
集合時間９時１８分 -
解答２
f(x)=x3+mx2+nx+2 として、整数解をaとすると
f(x)=(x-a)(x2+bx+c) で表され、展開して
f(x)=x3+(b-a)x2+(c-ab)x-ac=x3+mx2+nx+2
-ac=2 より、a=0にはなり得ず、またc=-2/aである。
よってn=-2/a-ab, m=b-a。
m整数よりbも整数。-abも整数。nも整数。よって-2/aは整数。これを満たすa=±1,±2。
1)a=1
n=-2-b. m=b-1. n=-2-m-1. m+n=-3.
(m,n)=(2,-5)(1,-4)(0,-3)(-1,-2)(-2,-1)(-3,0)(-4,1)(-5,2)
2)a=2
n=-1-2b. m=b-2. n=-1-2(m+2). 2m+n=-5.
(m,n)=(-5,5)(-4,3)(-3,1)(-2,-1)(-1,-3)(0,-5)
3)a=-1
n=2+b. m=b+1. n=2+m-1. n=m+1.
(m,n)=(4,5)(3,4)(2,3)(1,2)(0,1)(-1,0)(-2,-1)(-3,-2)(-4,-3)(-5,-4)
4)a=-2
n=1+2b. m=b+2. n=1+2(m-2). n=2m-3.
(m,n)=(4,5)(3,3)(2,1)(1,-1)(0,-3)(-1,-5)
以上まとめると、
(4,5) (3,4) (3,3) (2,3) (2,1) (2,-5) (1,2) (1,-1) (1,-4) (0,1) (0,-3) (0,-5) (-1,0) (-1,-2) (-1,-3) (-1,-5) (-2,-1) (-3,1) (-3,0) (-3,-2) (-4,3) (-4,1) (-4,-3) (-5,5) (-5,2) (-5,-4)
26通り
集合時間９時２６分
-
解答３
正八角形の内角はすべて135°なので、EFGHは等脚台形となり、EH//FGとなる。同様にDG//EFである。 よってEFGPは平行四辺形となるため、GP=FE=8√3。 また∠FGD=45°とわかるので、∠PGH=90°。よって△PGHは直角二等辺三角形になりPH=√2GH。 同様にして∠AHE=90°もわかるので、AP=√3AH=8√3*√3=24。 ９時２４分集合 -
解答４
すべての列で位を反転して見ると、
63, 56, 49, 42, S', 28, 21, 14, 7, 0
となり、これは7*(10-n)となっている。 よってS'=7*5=35、元に戻してS=53。８時５３分集合 -
解答５
a'+b'が奇数、b'は整数なので、a'-b'も奇数である。
また、a'-b'=a-b となる。よって実数a,bの小数部は同じ値であることがわかる。
そこで、a=a'+p, b=b'+p (-0.5≦p＜0.5) と書ける。
さて、(A+B):(a+b)=(a+b):8より8*(A+B)=(a+b)2である。
8A+8B=(a'+b'+2p)2
偶数の２乗しか偶数にならないので、a'+b'+2pは偶数。a'+b'が奇数なので、2pは奇数である。
-1≦2p＜1なので、2p=-1 p=-0.5
よって、8A+8B=(a'+b'-1)2
a'+b'-1=2√(2A+2B)
左辺は奇数-1なので偶数、よって右辺も偶数になる。つまり、√(2A+2B)は整数でなければならない。
なので、2A+2Bは平方数である。
ここで、A:B=a:bより、A/a=B/b=rとおくとa=A/r, b=B/rと書ける。
8(A+B)=(A/r+B/r)2
(4r)2=2A+2B
2A+2Bは平方数、かつ偶数であるので、4rは偶数である。つまり2rが整数である。
また、a=a'-0.5, b=b'-0.5となるので、つまり2a=2a'-1, 2b=2b'-1が奇数である。
したがって、2A/r, 2B/rが奇数である。
このためには、rは分子に偶数を持つ既約分数か偶数でなくてはならない。
しかし、2rが整数になるような分数rは分母が2しかあり得ず、これは既約分数にはなりえない。
よって、rは偶数である。
ここでr=2qとおく (qは整数)。まとめると、
A+B=(4r)2/2=32q2, 2a=A/qが奇数, 2b=B/qが奇数
以上が問の条件を満たす必要条件である。
最小値を求めると、q<1では題意に反するので、q=1のとき、
A+B=32. a+b=16. 例えばA=21, B=11とするとa=10.5, b=5.5, a'=11, b'=6となり問の条件をすべて満たすことが確認できる。
よって、A+Bの最小値M=32.
９時３２分集合
