Study 6 「確率分析の手法」

ここまでで地雷のある／なしを確定できるものに関しての解法を考えてきましたが、 それでもどうにもならないものも多く存在します。しかし、確定できないからと言って そこで思考を止めてカンに頼ってよいのでしょうか？

実は、確定できないなりにも、比較的安全、危険な場所が存在するのです。 地雷のある確率を丁寧に計算することでわかります。そうすると、すぐカンに頼るよりは、 どういう場所が比較的安全なのかを知っておいたほうが、有利になるのではないでしょうか。

では、具体的にどのような場所が比較的安全なのでしょうか？それを考えるのが今後の 課題です。Study 6ではまず、確率分析のための手法を考えるのをテーマとします。

図のルール

これ以後、あり得る状態をすべて書き出して…とかいうことを頻繁に行います。 その書き出しを実際自分でしてみようとするとき、画像を使ってぐちゃぐちゃ手間取るよりも できるだけテキスト１文字で代替して表現してテキストエディタや表計算ソフトなどで考える方が 楽になります。そのため、このシンボルをこう表すという対応表を挙げておきます。 今後は図はすべてこの文字でもって表します。

┌──┐
│　　│
│　　│
└──┘

０１２３４５＊

全パターンの書き出し

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　　　　４３３＊４＊＊＊
│　　　　　　　　　　　＊
└────────────

いろいろがんばってみたものの完全に行き詰まってしまった例、図１があります。 これ以上は決定させようがありません。

そこで、残っている６個の配置の可能性をすべて書き出してみましょう。 ６つとも配置することで、確率の基本である、「同様に確からしい」ものを洗い出します。 可能性の探し方は、「ここに仮に地雷があったとしたら…こうなって、 次になかったとしたら…こうなる。」というように探していくと もれなく探せるでしょう。答えは、図２−１〜２−１６の16種類あります。 ？が残り６個の地雷になります。

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│？　　　？？　？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│　？　　？？　？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│　　？　？？　？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│　　　　？？　？　　？＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│？　　　？？　？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│　？　　？？　？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│　　？　？？　？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│　　　　？？　？　　？＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│　　　？？　？？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│　　　？　？？　？　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│　　　？　？？　　？　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　？　４３３＊４＊＊＊
│　　　？？？　？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│　　　？？　？？　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│　　　？　？？　？　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│　　　？　？？　　？　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？？　４３３＊４＊＊＊
│　　　？？？　？　　　＊
└────────────

では、これをぜんぶまとめて、各マスに地雷があるのは 16個のうち何種類か数えてみましょう。結果が図３になります。 若干図に無理がありますが。

これで各マスの確率がわかります。この数を総数の16で割れば確率になります。 百分率（％）で表したものが図４になります。

もちろん、確率の低いところが、比較的安全なはずです。このように、確定できないマスにも 比較的地雷のありそうな場所、なさそうな場所があることがわかります。

ちなみに、このときの正解は、図２−１６でした。 実際、地雷のあったところとなかったところの確率を書き出してみると、

• ない：87.5 50 37.5 12.5 12.5 12.5 12.5 12.5 12.5
• ある：87.5 75 75 50 50 12.5

となり、やはり確率の低いところが比較的安全なようです。

16パターンを書き出して確率を求めると、一番低い確率は12.5%であることがわかります。 そこで、その中でたとえば、右端のマスを空けて可能な限り手を進めると図５になり、 そして、次はこの結果と矛盾しない、 図２−１，２，３，５，６，７，９，１２，１３，１６の１０個について もう一度確率を計算します。すると各マスは図６のような確率になります。

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　　　　４３３＊４＊＊＊
│　　　　＊　　＊３２４＊
└────────────

次はやはり最低確率である20%のうち、たとえば左下隅を開けて、可能な限り手を進めると、 図７になります。これでもまだ適当なものが図２−３，７，１２，１６の４つ残っているので、 集計すると結果は図８となり、中央に100%,0%という並びがあるのでこれを処理すると図９になって、 あとはすべて50%の確率になってしまいます。

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　　　　４３３＊４＊＊＊
│１２　　＊　　＊３２４＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　　　　４３３＊４＊＊＊
│１２　　＊＊３＊３２４＊
└────────────

こうなるともう勘の勝負になってしまいますが、 右上端を偶然開けて図１０になったら、あとは普通に空けて 図１１になって、このゲーム勝ちになります。たいへんな道のりでしたが、 12.5%, 20%, 50%という選択(生存確率：0.875×0.8×0.5＝35%)は、 単純に均した確率である40%, 40%, 50%(生存確率：0.6×0.6×0.5＝18%)と比べると、ほぼ倍になっています。

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　　　５４３３＊４＊＊＊
│１２　　＊＊３＊３２４＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│２＊＊５４３３＊４＊＊＊
│１２３＊＊＊３＊３２４＊
└────────────

それにしても手間がかかります。もう少し楽にしたいところです。 しかも今回は１６パターンの集計で済んだのですが、ちょっと大きくなると もう手におえないぐらい多そうです。そこで、少し簡略化する方法をいろいろ考えましょう。

隣接域のみの計算

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　　　　４３３＊４＊＊＊
│・・・　　　　　　　・＊
└────────────

では、最初の16通りに戻ってみましょう。 ここで、何通りあるか調べるのに目印となるのは結局開いている数だけですから、 周りに何も目安のない場所、図１２で・を付けたマスはカウントしないで、 他のところを先に配置してその余りをここに均等に配置するしかありません。 実際さっきの計算でもここはすべて12.5%でした。

そこで、残りのマス11個に関してのみ全パターンを書き出すと、10通り出てきます。 図１３−１〜１０です。

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│・・・　？？　？　　・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│・・・　？？　？　　・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│・・・？？　？？　　・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│・・・？　？？　？　・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　　？４３３＊４＊＊＊
│・・・？　？？　　？・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│？　？　４３３＊４＊＊＊
│・・・？？？　？　　・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│・・・？？　？？　　・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│・・・？　？？　？　・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？　？４３３＊４＊＊＊
│・・・？　？？　　？・＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│　？？　４３３＊４＊＊＊
│・・・？？？　？　　・＊
└────────────

このうち、図１３−１，２には地雷が５個、残り８つには地雷が６個配置されています。 残りの地雷は６つなので、

a. 地雷が５個配置してあるパターンでは１つの地雷が残り４箇所にある確率が等しく、

b. 地雷が６個配置してあるパターンでは残り４箇所には地雷はありません。

すると、a. のときは１つの地雷を４箇所に配置する方法は４通り、 b. のときは一意に決まるので各１通りになります。 つまり、図１３−１，２の旗の個数は４倍して計算し、 その他の旗の個数はそのまま足すと、図１４の数が求まります。 また、パターンの総数は16通りなのですが、これもたとえば 左端の２に注目すると、その周りにある数が8+8=16、 一番右の４に注目しても、周りにある数が12+2+2=16、 その旗を挟んだ左の３の周りは14+6+12=32ですが、２つ地雷が未確定なので32/2=16、 というように、総数が16であるのがわかってもらえると思います。 なので、これを16で割れば図１５のように確率がわかります。

残りの４箇所ですが、今わかっている確率をすべて足すと、 0.5 + 0.5 + 0.125 + 0.875 + 0.5 + 0.75 + 0.875 + 0.375 + 0.75 + 0.125 + 0.125 = 5.5 となって、5.5個の地雷が置いてあるのと同じになります。 そこで残りの0.5個の地雷を均等な確率で配置すると、 0.5/4=0.125 なので、残りの４箇所はやはりすべて12.5%であることがわかり、 これですべてのマスの確率が求まるわけです。

分割その１

また最初の状態に戻ってみましょう。図１６で青くした場所ですが、 ■を置いた未確定２マスの可能性を判断するものは、上の２しか手がかりがありません。 なので、この部分を分割して、図１７の青い部分と緑の部分で個別に計算することができるでしょう。

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│■■　　４３３＊４＊＊＊
│　　　　　　　　　　　＊
└────────────

│１２３５＊３００２＊５３
│２＊＊４＊２１１４＊６＊
│■■■■４３３＊４＊＊＊
│■■■■■■■■■■■＊
└────────────

これらを別々に分析しましょう。すると、まず図１７の青の部分では、 図１８−１，２の２つの可能性しかありません。これから図１９の確率もすぐわかります。 ここに必ず１つ地雷があるので、この数は６個から引いて、５個が青い部分以外の 場所にある地雷の個数になります。

│１２３
│２＊＊
│？　　
│　　　

│１２３
│２＊＊
│　？　
│　　　

緑の場所で、数字隣接域のみの全パターンを書き出すと、図２０−１〜５の５種類になりました。 図２０−１のみ地雷を置いた数が１つ少ないので、数字に隣接しない場所が４つあり１つ地雷が余ることから、 数字の隣接しない場所のパターンは４つあり、よって図２０−１のみ４倍し、 他はそのまま足すのでした。そうして数えると、図２１になりました。

２３５＊３００２＊５３
＊＊４＊２１１４＊６＊
　　？４３３＊４＊＊＊
　　　？？　？　　　＊
───────────

２３５＊３００２＊５３
＊＊４＊２１１４＊６＊
　　？４３３＊４＊＊＊
　　？？　？？　　　＊
───────────

２３５＊３００２＊５３
＊＊４＊２１１４＊６＊
　　？４３３＊４＊＊＊
　　？　？？　　？　＊
───────────

２３５＊３００２＊５３
＊＊４＊２１１４＊６＊
　？　４３３＊４＊＊＊
　　？？？　？　　　＊
───────────

２３５＊３００２＊５３
＊＊４＊２１１４＊６＊
　　？４３３＊４＊＊＊
　　？　？？　？　　＊
───────────

最初の方法（図３）の同じ部分を抜き出したものが図２２ですが、見事にすべて半分になっています。 というのも、これは図１８−１，２で見た２つの可能性が独立に働いて、 そのまま２倍になっていただけだからなのです。

こうして、独立に計算できる部分を発見して、そこにある地雷の個数を引いて 他の場所を調べることで、ケース数は数分の１に減ります。

グループ化

図２３を見てください。青い４は隣接域を３つ持っていますが、 その３つのうち、■を置いた２箇所は４しかわかっている数字が周辺にありません。 つまり、この２箇所の条件は同じといえます。

よって、さきほどの図２０−３，５はこの２箇所だけの差なので、 図２４のように代わりにＡと置いてみます。計算時には、？の数を２倍、Ａはそのまま１つと数えます。

２３５＊３００２＊５３
＊＊４＊２１１４＊６＊
　　　４３３＊４＊＊＊
　　　　　　　■■　＊
───────────

２３５＊３００２＊５３
＊＊４＊２１１４＊６＊
　　？４３３＊４＊＊＊
　　？　？？　ＡＡ　＊
───────────

いろいろ道具立てが揃ってきましたので、もう少し大きなものも調べやすくなりました。 では例を変えて図２５で考えてみましょう。 ちょっと大きいですね。これを全パターン書き出すのは無茶ですが、 いままで考えたことを使って計算すれば比較的簡単に確率も求まるでしょう。 図２６で青■の場所は分割その１で見たようなところですね。 よってここの２マスと地雷１個分はあらかじめ引いて計算します。 緑■の場所が２箇所ありますが、これは条件が同じで グループ化できるところなので、これを念頭に置いて数えます。

┌───────────
｜　　　　　　　　　３２
｜　　　　　　　　　＊＊
｜　　　　　　　　　＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　　　　　３２００１１
｜　　３２３＊４２１１１
｜　　　１２＊＊＊１１＊
｜　　　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　　■■　＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　■　　　３２００１１
｜　■３２３＊４２１１１
｜　■　１２＊＊＊１１＊
｜　　　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

グループ化もしてすべて書き出した結果が図２７−１〜８です。

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　？　　？＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　Ｂ？　？３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ　１２＊＊＊１１＊
｜？　？２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　　ＡＡ　＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　Ｂ？　？３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ　１２＊＊＊１１＊
｜？　？２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　？　　？＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　？＊２１２３＊
｜　Ｂ？？　３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ　１２＊＊＊１１＊
｜？　？２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　　ＡＡ　＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　？＊２１２３＊
｜　Ｂ？？　３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ　１２＊＊＊１１＊
｜？　？２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　？　　？＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　Ｂ　　？３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ？１２＊＊＊１１＊
｜　？　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　　ＡＡ　＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　Ｂ　　？３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ？１２＊＊＊１１＊
｜　？　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　？　　？＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　？＊２１２３＊
｜　Ｂ　？　３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ？１２＊＊＊１１＊
｜　？　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　　ＡＡ　＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　？＊２１２３＊
｜　Ｂ　？　３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ？１２＊＊＊１１＊
｜　？　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

図２７−１，５はＢに２つ地雷があるので₃C₂＝3倍、図２７−２，６は Ｂに２つ地雷がありＡに１つあるので、₃C₂×₂C₁＝6倍、 同様に図２７−３，７は３倍、図２７−４，８は６倍したものと考えます。

そして、次は残りの地雷を、数字の隣接しない場所に置いたときのパターンの数をかけなければいけません。 なので、残り地雷の数が同じものをさきにまとめておきます。 その数を数えたものが図２８−１〜３です。

分割その２

さて、ここでもう少し楽にする方法を考えてみましょう。求めたいのは図２８−１〜３の数字なわけです。 そこで、図２７−１と２、３と４、５と６、７と８を見比べてください。どれも右上の？　　？と　ＡＡ　が 違うだけで、他は同じですね。こう見ると、これもまた２箇所に分けて考えることもできそうです。

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　■■■■＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　■＊２１２３＊
｜　■■■■３２００１１
｜　■３２３＊４２１１１
｜　■■１２＊＊＊１１＊
｜■■■２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

そこで、分割するエリアを示したものが図２９になります。赤い場所が先ほど分割その１の節で 分けた場所で、緑と青が今回分割する領域です。これによって図２７−１〜８も、図３０−１，２と 図３１−１〜４のようにまとめられることがわかるでしょう。

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　？　　？＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊

┌───────────
｜　　　　　　　　■３２
｜　　　　　　　　■＊＊
｜　　　　　　ＡＡ　＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊

｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　Ｂ？　？３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ　１２＊＊＊１１＊
｜？　？２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　？＊２１２３＊
｜　Ｂ？？　３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ　１２＊＊＊１１＊
｜？　？２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　Ｂ　　？３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ？１２＊＊＊１１＊
｜　？　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　？＊２１２３＊
｜　Ｂ　？　３２００１１
｜　Ｂ３２３＊４２１１１
｜　Ｂ？１２＊＊＊１１＊
｜　？　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

これら２パターン×４パターンで、図２７の８パターンが出るのがわかると思います。 具体的に集計する方法としては、図３０−１では地雷を２つ、図３０−２では１つ置いており、 また図３１−１，２では６つ、図３１−３，４では５つ置いています（Ｂの部分に置かれる 地雷の数に注意）。これらを組み合わせようとすると、

• ８個配置：３０−１＆３１−１，２
• ７個配置：３０−２＆３１−１，２、３０−１＆３１−３，４
• ６個配置：３０−２＆３１−３，４

となって、図２８−１〜３の集計が可能になるわけです。赤い■の部分に 必ず１つある地雷を足して配置されるのがそれぞれ９，８，７個、それを全体の残り１５個から 引いて、それぞれ残りが６，７，８個となるわけです。

残り個数の違うものの統合

とにかく図２８−１〜３が求まったので、次はそれらを足して全体的なパターンの数を 求めたいです。図２８−１〜３そのままでもよいのですが、ちょうどすべて数字が３の倍数に なっているので、すべて３で割ったものを図３２−１〜３に掲載します。

さて、これらの残りを、数字に隣接しない領域に配置した時の場合の数を求めましょう。 求まった場合の数をそれぞれの状態の個数に掛けて、合計すれば全体の場合の数が求まるでしょう。 まず、いずれの場合も数字に隣接しない領域は３３マスあります。残りが６個の時は、 ３３マスの中に等しい確率で地雷が６つあるので、₃₃C₆個の場合があるでしょう。 同様に残りが７個なら₃₃C₇個、残りが８個なら₃₃C₈個 あります。

これを真面目に計算すると非常に大きい数になります。 しかし、この数を正確に計算する必要はありません。 結局は割合が求まればよいので、それぞれの比で代用してよいことがわかります。そこで、

₃₃C₆:₃₃C₇:₃₃C₈
=(33×32×31×30×29×28)/(6×5×4×3×2×1):(33×32×31×30×29×28×27)/(7×6×5×4×3×2×1): (33×32×31×30×29×28×27×26)/(8×7×6×5×4×3×2×1)
=1/1:27/7:(27×26)/(8×7)
=(8×7):(27×8):(27×26)
=(4×7):(27×4):(27×13)
=28:108:351

となるので、残りが６個のものはそれぞれ28倍、残りが７個のものはそれぞれ108倍、 残りが８個のものはそれぞれ351倍して、足しあわせればよいことになります。その結果を 図３３に示しました。

全パターン数は2108あることになります。 図３３の青い■の部分は50%の確率であることはすぐわかりますので、 ここにはそれぞれ1054という数が入っているのと同じになります。 そして、これらの数を2108で割ると確率が求まります（図３４は100倍して%にし、整数に丸めてあります）。

残る数字と隣接しないマスについても考えましょう。図３３で２つの青い■の分も含め、出ている数字を 足すと、全部で15516になります。これを2108で割った7.36個がすでに置いてある個数と考えられます。 なのでこれを１５から引いた7.64個が残りの部分（33マス）にある地雷の個数と考えられます。 つまり、7.64/33≒0.23、23%が残りの部分の確率になります。

図３５で、図２５よりの確率計算は完了です。このぐらい大きなものも比較的簡単に計算できるようになりました。

この結果には面白い点が含まれています。それは、適当に広いところを開けるよりも 数字に隣接する部分により確率の低い部分が出現しうるということです。 広い部分では23%ですが、それよりも小さい13%という値が出ています。 確率を見るならば13%という最も小さい値のところを開けるのが安全ではないでしょうか。 最善の手と言えるかはわかりませんが…。

このように、詰まったときもこうした最も確率の低い部分を選んで開けていけば、 比較的安全に進められるはずです。しかし、確率を毎回詰まる度に計算するのは非常に効率が悪いです。 （詰まった瞬間にスクリーンをキャプチャし最小化、 グラフィックビューアに貼り付けて確率を計算し次の手を決め、画面を元に戻して再開、とすることで タイムロスは最小限に食い止められますが。）そこで確率計算の実用的な応用を考えるのが次のStudy 7になります。

それと、手計算はやはり非常にめんどくさいものがあるので、 確率を計算するプログラムを書きました。 Study 7ではこれを主な道具としていきます。

Study 7に入る前に計算練習のしたい方のために、図３６〜４０に図３５後の経過を 問題として、解答とともに示します。（繰り返しますが、確率の低いところを選んでいるだけで、 別に最善の手とは限りません。）

┌───────────
｜　　　　　　　　　３２
｜　　　　　　　　　＊＊
｜　　　　　４　　６＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　　　　　３２００１１
｜　　３２３＊４２１１１
｜　　　１２＊＊＊１１＊
｜　　　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

┌───────────
｜　　　　　　　　３３２
｜　　　　　　　　＊＊＊
｜　　　　　４　　６＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　　　　　３２００１１
｜　　３２３＊４２１１１
｜　　　１２＊＊＊１１＊
｜　　　２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

左下隅の18%を開けて続き

┌───────────
｜　　　　　　　　３３２
｜　　　　　　　　＊＊＊
｜　　　　　４　　６＊４
｜　　　　　＊３２＊＊３
｜　　　　　＊２１２３＊
｜　　２　　３２００１１
｜２３３２３＊４２１１１
｜２＊＊１２＊＊＊１１＊
｜３＊５２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

左下隅の18%を開けて続き

┌───────────
｜　　　　　　　　３３２
｜　　　　　　　　＊＊＊
｜　　＊　　４　　６＊４
｜２４３３３＊３２＊＊３
｜＊３＊２３＊２１２３＊
｜２＊２２＊３２００１１
｜２３３２３＊４２１１１
｜２＊＊１２＊＊＊１１＊

右下隅の8%を開けると完成

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｜０１１１０１２３３３２
｜１３＊３１３＊＊＊＊＊
｜１＊＊３＊４＊５６＊４
｜２４３３３＊３２＊＊３
｜＊３＊２３＊２１２３＊
｜２＊２２＊３２００１１
｜２３３２３＊４２１１１
｜２＊＊１２＊＊＊１１＊
｜３＊５２２２４３２１２
｜２＊４＊２１２＊１０１
｜２２４＊２２＊３１０１

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